最新人教版高中数学选修1.5.1曲边梯形的面积ppt课件

发布于:2021-09-28 18:08:37

1 情景设计: 面积 我们已经学会了正方形,三角形,梯形等面积的计算。 这些图形有一个共同的特征: 每条边都是直的线段。 但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形, 他们的面积怎么计算呢? 2 3 2.如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。 y y y 0 x 0 x o x 直线 几条线段连成的折线 曲线? 思考: 1.曲边梯形与我们熟悉的“直边图形”的主要 区别是什么? 2.能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求 “直边图形”面积的问题? 4 曲边梯形的面积 直线x?1、y?0及曲线y?x2所围成的图形(曲边三角形)面积S是 多少? 想一想:我国魏晋时期的数学家刘徽是如何 研究圆的面积?有何启示? 5 用类似的方法求解:直线x?1、y?0及曲线y?x2所围成的图形 (曲边三角形)面积S是多少? 为了计算曲边三角形的面积S,将它分割成许多小曲边梯形 对任意一个小曲边梯形,用“直边”代替“曲边”(即在很小范 围内以直代曲),有以下三种方案“以直代曲” 。 y = f ( x) y A1 O a b x 用一个矩形的面积A1*似代替曲边梯形的面积A, 得 A ? A1. y = f ( x) y A1 O A2 a b x 用两个矩形的面积 *似代替曲边梯形 的面积A,得 A? A1+ A2 y y = f(x) A1 O A2 A3 A4 a b x 用四个矩形的面积 *似代替曲边梯形 的面积A, 得 A ? A1+ A2+ A3+ A4 y = f(x) y S1 O a Si Sn b x 将曲边梯形分成 n个小曲边梯形,并用小矩形的面积代替小曲边 梯形的面积, 于是曲边梯形的面积S*似为 S ? S1+ S2 + ? ? ? + Sn 10 分割越细,面积的*似值就越精确。当分割无限变 细时,这个*似值就无限*笄咛菪蔚拿婊齋。 下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程 11 (1)分割 把区间[0,1]等分成n个小区间: 1 1 2 i ?1 i n ?1 n [0, ], [ , ],? ? ?, [ , ],? ? ?, [ , ], n n n n n n n 每个区间的长度为 i i ?1 1 ?x ? ? ? n n n 过各区间端点作x轴的垂线,从而得到n个小曲边梯形,他们 的面积分别记作 ?S1 , ?S2 ,? ? ?, ?Si ,? ? ?, ?Sn . S ? ? ?Si 12 n i ?1 (2) *似代替:以直代曲 i ?1 i ?1 2 1 ?Si ? f ( ) ?x ? ( ) n n n n (3)求和 Sn ? ?S1 ? ?S2 ? ? ? ? ? ?Sn ? ? ?Si i ?1 n i-1 1 i-1 2 1 ? ? f( ) ? ?( ) n n n n i ?1 i ?1 1 ? 3 [0 2 ? 12 ? 2 2 ? ? ? ? ? (n ? 1) 2 ] n n 1 1 ? 3 (n ? 1)n(2n ? 1) n 6 1 1 1 ? (1 ? )(1 ? ) 3 n 2n 13 (4)取极限:* 当分割无限变细,即?x ? 0(亦即n ? ?)时, 1 i ?1 S ? lim S n ? lim ? f ( ) n ?? n ?? n n i 1 1 1 1 ? lim (1 ? )(1 ? )? n ?? 3 n 2n 3 1 1 所以S ? ,即所求曲边三角形的面积为 。 3 3 n 分割 *似代替 求和 14 取极限 课本P42 15 16 小结:求曲边梯形面积的“四步曲” 1.分割 2.*似代替 化整为零 以直代曲 积零为整 * 3.求和 4.取极限 17 练*: 3.求直线x ? 0, x ? 2, y ? 0与曲线y ? x 所围成的曲边梯形的面 积. 2 18 解:(1)分割 把区间[0,2]等分成n个小区间: 2 2 4 2i ? 2 2i 2n ? 2 2n [0, ], [ , ],? ? ?, [ , ],? ? ?, [ , ], n n n n n n n 每个区间的长度为 2i 2i ? 2 2 ?x ? ? ? n n n 把曲边梯形分成n个小曲边梯形,他们的面积分别记作 ?S1 , ?S2 ,? ? ?, ?Si ,? ? ?, ?Sn . 19 (2) *似代替:(以直代曲) 2i ? 2 2i ? 2 2 2 ?S i ? f ( ) ?x ? ( ) n n n n (3)求和 Sn ? ? ?Si i ?1 n n 2i-2 2 2i-2 2 2 ? ? f( ) ? ?( ) n n n n i ?1 i ?1 8 ? 3 [0 2 ? 12 ? 2 2 ? ? ? ? ? (n ? 1) 2 ] n 8 1 ? 3 (n ? 1)n(2n ? 1) n 6 8 1 1 ? (1 ? )(1 ? ) 3 n 2n 20 (4)取极限:* 当分割无限变细,即?x ? 0(亦即n ? ?)时, 2 2i ? 2 S ? lim S n ? lim ? f ( ) n ?? n ?? n n i 8 1 1 8 ? lim (1 ? )(1 ? )? n ?? 3 n 2n 3 8 8 所以S ? ,即所求曲边三角形的面积为 。 3 3 n 21 练*: 2 ? i ?1 i ? 1.当n很大时,函数 f ( x) ? x 在区间? , ?上的值, ? n n? 可以用 ( C ) *似代替 . 1 A. f ( ) n 2 B. f ( ) n i C. f ( ) n D. f (0) 22 练*: 2.在“*似代替”中,函 数f ( x )在区间 [ xi , x

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